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(CefetMG) Uma pedra, lançada para cima a partir do topo de um edifício de 10 m de altura com velocidade inicial v0 = 10 m/s, faz um ângulo de 30° com a horizontal. Ela sobe e, em seguida, desce em direção ao solo. Considerando-o como referência, é correto afirmar que a(o)





Vamos analisar as alternativas.


a) máxima altura atingida é igual a 15 m. ✘
Primeiro desconsidere que a bola está no topo de um prédio, para nós ela estará no solo.



Vamos ilustrar a situação.


A bola é lançada a 10 m/s formando um ângulo de 30° com a horizontal







vamos definir o nosso sistema de coordenadas1







nós podemos decompor o movimento nas suas componentes vertical e horizontal







Na horizontal o movimento é uniforme, isto é a velocidade no eixo x não se altera durante o percurso, a velocidade final é igual à inicial







já na vertical como nós temos a força da gravidade puxando o corpo para baixo com uma aceleração de -10 m/s2 constantemente o movimento é uniformemente variado (negativa porque o y cresce para cima e a gravidade está sempre orientada para baixo)






A altura máxima de um objeto em um lançamento oblíquo pode ser calculada pela fórmula \( \bbox[5px, border: 2px solid #d220fa]{ h_{max} =\; {\large{ {(v_0.sen\;𝛳)^2} \over {2g} } } } \)
hmax: altura máxima
v0: velocidade inicial, em m/s
𝛳: ângulo de lançamento
g: aceleração gravitacional, em m/s2





A velocidade inicial é 10 m/s, 𝛳 é 30° e a gravidade2 é 10 m/s2

\( h_{max} =\; {\large{ {(10.sen\;30)^2} \over {2.10} } } \)


\( h_{max} =\; {\large{ {(10.0,5)^2} \over {20} } } \)


\( h_{max} =\; {\large{ {(5)^2} \over {20} } } \)


\( \bbox[5px, border: 2px solid #d220fa]{ h_{max} =\;1,25\;m } \)





Isto considerando um lancamento apartir do solo, ou seja altura inicial 0, como a bola está a 10 m, a altura máxima é 10 +1,25 = 11,25 m







b) intervalo de tempo da subida vale 3,0 s. ✘
O tempo de subida é dado por \( \bbox[5px, border: 2px solid #d220fa]{ t =\; {\Large{ {v_0.sen\;𝛳} \over {g} } } } \)
t: tempo para alcançar a altura máxima, em segundos
v0: velocidade inicial, em m/s
𝛳: ângulo de lançamento
g: aceleração gravitacional, em m/s2





Novamente, velocidade inicial 10 m/s, 𝛳 = 30° e a gravidade 10 m/s2

\( t_s =\; {\large{ {10.sen\;30} \over {10} } } \)


\( t_s =\; {\large{ {10.0,5} \over {10} } } \)


\( \bbox[5px, border: 2px solid #d220fa]{ t_s =\;0,5\;s } \)






c) tempo gasto para chegar ao solo é 5,0 s. ✘
A posição de um objeto em movimento uniformemente variado é \(\bbox[5px, border: 2px solid #d220fa]{ s = s_0\; +v_0t\; +{\large{ {1} \over {2} } }at^2}\)
s: posição final, em m
s0: posição inicial, em m
v0: velocidade inicial, em m/s
a: aceleração em m/s2
t: tempo, em segundos





Como nós estamos trabalhando com a altura podemos fazer alguns ajustes \(\bbox[5px, border: 2px solid #d220fa]{ h = h_0\; +v_{0y}t\; +{\large{ {1} \over {2} } }gt^2}\)
h: altura final, em m
h0: altura inicial, em m
v0y: velocidade vertical inicial, em m/s
g: aceleração gravitacional em m/s2 (a aceleração em lancamentos oblíquos é a gravidade)
t: tempo, em segundos





Considerando o chão com altura 0 (e ainda respeitando nosso sistema de coordenadas) h = 0, a altura inicial será o ponto mais alto da trajetória 11,25 m esta definição facilita muito determiar v0y, porque no ponto mais alto a velocidade vertical é nula, portanto v0y = 0 e a gravidade é -10 m/s2 (negativa porque o y cresce para cima e a gravidade está sempre orientada para baixo)

\( 0 = 11,25\; +0.t\; +{\large{ {1} \over {2} } }(-10)t^2\)


\( -11,25 =\; -5t^2\)


\( -2,25 =\; t^2\)


\( \bbox[5px, border: 2px solid #d220fa]{ t =\;1,5\;s } \)




Este é o tempo que ela leva para atingir o solo saindo do ponto mais alto



É 0,5 s subindo e 1,5 s descendo, o tempo para chrgar ao solo é 0,5 +1,5 = 2 s





d) velocidade ao passar pelo nível inicial é 10 m/s. ✔
Nós já sabemos que a velocidade horizontal é sempre constante mas o que não havia sido mencionado até agora é que em uma altura qualquer as velocidades verticais são iguais em módulo, ou seja, considere uma altura h qualquer







na subida ela tem uma velocidade vertical vy







quando ela passar por h novamente na volta (descida) ela terá a mesma velocidade vertical, só muda o sentido




A velocidade horizontal não muda, a velocidade vertical é a mesma, só muda o sentido, então a velocidade resultante também será a mesma, em módulo.



Conclusão, se a velocidade de lançamento é 10 m/s, quando ela passar pelo nível inicial na volta a velocidade será 10 m/s.





Gabarito letra d.



1: não é necessário explicitar o sistema de coordenadas usado, estamos fazendo isso aqui apenas para deixar mais didático e comumente adota-se o padrão, y crescendo para cima e x para direita



nas questões em que as coordenadas não tiverem sido claramente declaradas adote o padrão.




2: a gravidade é positiva porque nós já consideramos ela negativa, confuso certo?!


A fórmula \( h_{max} = {\large{ {v_{0y}^2} \over {2g} } } \) vem dessa outra v2 = v02 +2aΔs, quando estamos tratando de lançamento vertical a velocidade na altura máxima é nula e a aceleração é a própria gravidade, que é negativa e o Δs é a altura (h) então ela fica assim

\( 0^2 =\; v_{0y}^2\; +2.(-g)h \)


\( 0 =\;v_{0y}^2\; -2gh \)


\( 2gh =\;v_{0y}^2 \)


\( h = {\large{ {v_{0y}^2} \over {2g} } } \)





Percebeu como aqui

\( 0^2 =\; v_{0y}^2\; +2.(-g)h \)


a gravidade já foi considerada negativa?!



Por isso que na equação final \( h = {\large{ {v_{0y}^2} \over {2g} } } \) ela fica positiva. Questões

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