(Ufmg)
Observe a figura. Nela, AB = AC, BD é bissetriz de ABC, CE é bissetriz de BCD e a medida do ângulo ACF é 140°. A medida do ângulo DEC, em graus, é:
Comecemos olhando para o triângulo ABC
Vamos chamar o ângulo BAC de x, ABC de y e ACB de z
Segundo a questão AB = AC. Triângulos com 2 lados iguais são isósceles e triângulos isósceles têm 2 ângulos iguais, os ângulos da base, ou seja
z = y
A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, logo 2y +x = 180 ∴ x = 180 -2y (eq1)
Agora vamos prolongar o lado BC
O ângulo ACF mede 140°
e é externo ao triângulo. Ângulos externos são iguais a soma dos ângulos internos não adjacentes, isto significa que 140 = y +x∴ x = 140 -y (eq2)
Igualando eq1 com eq2
180 -2y = 140 -y
y = 40°
Vamos atualizar a ilustração
e traçar a reta BD
Nós sabemos que BD é bissetriz de ABC.
Uma bissetriz é uma reta que passa pelo vértice de um ângulo e o divide em 2 ângulos exatamente iguais.
Então BD divide o ângulo de 40° em 2 de 20°
CE é bissetriz de ACB, então nós temos outros 2 ângulos de 20°
Novamente, a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, portanto a soma dos ângulos do triângulo BEC é
20 +20 +BÊC = 180
BÊC = 140°
⇩
Agora note que DÊC é o suplemento de 140. Ângulos suplementares são ângulos cuja soma dá 180, ou seja DÊC +140 = 180 ∴ DÊC = 40°
(DÊC +140 é o ângulo raso)
Gabarito letra c.
Notas
Nota 1: ângulos externos são os ângulos formados entre o prolongamento de qualquer um dos lados e o próprio triângulo, nós também podemos dizer que o ângulo externo é o suplemento de qualquer um dos ângulos internos.
Nota 2: um triângulo isósceles tem 2 lados de mesmo tamanho
e 2 ângulos iguais
O lado com tamanho diferente, quando existe, é a base (α são os ângulos da base)
