(Cmrj 2017) O retângulo PQRS é a representação de uma mesa de sinuca. O objetivo é alcançar a bola verde, representada pelo ponto V, com a bola branca, representada pelo ponto B. Sabe-se que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão, como destacado na figura abaixo.


Qual o valor da tangente do ângulo β?






Vamos nomear alguns pontos importantes






Pela figura da própria questão DCP = BCA = β






vamos chamar o ângulo PDC de α






E novamente EDV = PDC = α






Agora olhe os triângulos EDV e DPC






Perceba que eles têm 2 ângulos iguais, α e 90°, portanto o ângulo EDV só pode ser β




Tudo isso para justificar que EDV = β



Agora vamos lá.


Consideremos que PC mede “d” e PD mede y






Então CA mede 1,5 -d






e DE mede 0,75 -y




A tangente de um ângulo é \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ tg = \large{ {cateto\; oposto} \over {cateto\; adjacente} } } \)





A tangente de β no triângulo CBA é







A tangente de β no triângulo DPC é







E a tangente de β no triângulo DEV é





Com 2 ou + equações nós podemos montar um sistema, é o que faremos

\( \begin{cases} 1,5tg\;\beta -dtg\;\beta -0,9 = 0\; (eq1) \\ \\ y = dtg\;\beta\; (eq2) \\ \\ 0,35tg\;\beta +y -0,75 = 0\; (eq3) \\ \end{cases} \)




Vamos substituir dtg β em eq1 por y ⇨ 1,5tg β -y -0,9 = 0   (eq4)




Agora vamos somar eq3 com eq4





Gabarito letra b.


Questões