(Mackenzie)
A razão entre os volumes das esferas circunscrita e inscrita a um mesmo cubo é:
Vamos começar descobrindo o raio da esfera circunscrita.
Aí estão o cubo de arestas l e a esfera
note que os vértices do cubo tangenciam a esfera e o centro O dos 2 sólidos são coincidentes.
Vamos traçar uma reta do vértice A até o vértice B
Note que AB é o diâmetro da esfera.
Vamos traçar uma reta de A até C
Aplicando Pitágoras no triângulo ADC nós temos
l2 +l2 = AC2
AC2 = 2l2
Aplicando Pitágoras no triângulo ABC nós temos
AC2 +l2 = AB2
2l2 +l2 = AB2
AB = l√3
Como AB é o diâmetro, o raio mede \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ \Large{ {l\sqrt 3} \over {2} } }\)
Agora vamos descobrir o raio da esfera inscrita.
novamente o centro O dos 2 sólidos são coincidentes.
Vamos traçar uma reta do centro da face superior do cubo até o centro da face inferior
Note que AB mede l e é o diâmetro da esfera.
Logo o raio da esfera é \( \Large{ {l} \over {2} } \)
O volume de uma esfera é: \( v = { \Large{ {4} \over {3} } } \pi r^3 \)
r: raio
O volume da esfera circunscrita é
\( v_c = { \Large{ {4} \over {3} } }\pi { \Large{ ({ {l\sqrt 3} \over {2} })^3 } } \)
\( v_c = { \Large{ {4} \over {3} } }\pi { \Large{ { {3l^3 \sqrt 3} \over {8} } } } \)
\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ v_c = \Large{ {l^3\sqrt 3 \pi} \over {2} } } \)
O volume da esfera inscrita é
\( v_i = { \Large{ {4} \over {3} } }\pi { \Large{ ({ {l} \over {2} })^3 } } \)
\( v_i = { \Large{ {4} \over {3} } }\pi { \Large{ { {l^3} \over {8} } } } \)
\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ v_i = \Large{ {l^3\pi} \over {6} } } \)
A razão os volumes das esferas é
\( { \LARGE{ {v_c} \over {v_i} } } = { \huge{ { {l^3\sqrt 3\pi} \over {2} } \over { {l^3\pi} \over {6} } } }\)
\( { \LARGE{ { {v_c} \over {v_i} } } } = \Large{ { {l^3\sqrt 3\pi} \over {2} }. { {6} \over {l^3\pi} } }\)
\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ { \LARGE{ {v_c} \over {v_i} } } = 3\sqrt 3 } \)
Gabarito letra c.
Questões
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