duas esferas metalicas maciças de raios iguais a 8 cm e 5 cm são

(Uerj 2004) Duas esferas metálicas maciças de raios iguais a 8 cm e 5 cm são colocadas, simultaneamente, no interior de um recipiente de vidro com forma cilíndrica e diâmetro da base medindo 18 cm. Neste recipiente despeja-se a menor quantidade possível de água para que as esferas fiquem totalmente submersas, como mostra a figura.

Posteriormente, as esferas são retiradas do recipiente. A altura da água, em cm, após a retirada das esferas, corresponde, aproximadamente, a:

A esfera maior tem uma altura de 16 cm

a menor tem uma altura de 10 cm

as duas esferas juntas tem um altura de aproximadamente 26 cm (como descobrir a altura exata das esferas logo abaixo), portanto, a altura da água no recipiente deverá ser de 26 cm.

O volume que um líquido ocupa em um recipiente cilíndrico é: v = A_bh (eq1)

A_b: área da base do recipiente
h: altura do líquido

Logo, o volume de água no recipiente é A_bh menos o volume que as esferas ocupam.

O volume de uma esfera é: \( V = { \Large{ {4} \over {3} } } \pi r^3 \)

r: raio

O volume da esfera maior é

\({ \Large{ {4} \over {3} } } \pi 8^3 \)

\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ { \Large{ {2048\pi} \over {3} } } }\)

O volume da esfera menor é

\({ \Large{ {4} \over {3} } } \pi 5^3 \)

\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ { \Large{ {500\pi} \over {3} } } }\)

Portanto, o volume de água no recipiente é

\( \pi 9^2.26 -{ \Large{ {2048\pi} \over {3} } } -{ \Large{ {500\pi} \over {3} } } \)

\( 2106\pi -{ \Large{ {2048\pi} \over {3} } } -{ \Large{ {500\pi} \over {3} } } \)

\( \Large{ { {6318\pi} \over {3} } -{ {2048\pi} \over {3} } -{ {500\pi} \over {3} } } \)

\( \Large{ {3770\pi} \over {3} } \), considerando π ≅ 3

3770 cm³

Substituindo v em eq1

3770 = π. 9². h

3770 = 81πh, considerando π ≅ 3

3770 = 243h

h = 15,5 cm

A opção mais próxima é 14,5.

Gabarito letra c.

Se você quiser descobrir a altura exata das duas esferas é muito simples.

A esfera maior tem centro O e raio de 8 cm