(Enem 2013)
Durante uma aula de Matemática, o professor sugere aos alunos que seja fixado um sistema de coordenadas cartesianas (x, y) e representa na lousa a descrição de cinco conjuntos algébricos, I, II, III, IV e V, como se segue:
I- é a circunferência de equação x2 +y2 = 9
II- é a parábola de equação y = -x2 -1
III- é o quadrado formado pelos vértices (-2, 1), (-1, 1), (-1, 2) e (-2, 2)
IV - é o quadrado formado pelos vértices (1, 1), (2, 1), (2, 2) e (1, 2)
A seguir o professor representa corretamente os cinco conjuntos sobre uma mesma malha quadriculada composta de quadrados com lados medindo uma unidade de comprimento, cada, obtendo uma figura. Qual destas figuras foi desenhada pelo professor ?
Bem x2 = (x -0)2 e y2 = (y -0)2, então vamos substituí-los
(x -0)2 +(y -0)2 = 9
Agora compare-a com a equação reduzida da circunferência
(x -a)2 +(y -b)2 = r2
(x -0)2 +(y -0)2 = 9
O que eu quero que você veja é que a = 0, b = 0 e r2 = 9
Sendo que, na equação reduzida da circunferência
a: abscissa do centro
b: ordenada do centro
r: raio
Ou seja, (x -0)2 +(y -0)2 = 9 é uma circunferência com centro em (0,0) e de ralo 3
Agora dê uma olhada na equação y = -x2 -1 e na forma geral da função de 2º grau y = ax2 +bx +c.
O coeficiente do x2 determina a concavidade da parábola.
Se a > 0 a concavidade está para cima (crescente)
Se a < 0 a concavidade está para baixo (decrescente)
Como o coeficiente do x2 em y = -x2 -1 é -1 (menor que 0) a parábola está para baixo
Agora nós precisamos descobrir as coordenadas do vértice
O x do vértice de uma função do 2º grau é: \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ x_v = - \Large{ {b} \over {2a} } }\)
Portanto (você pode adicionar um termo 0x à y = -x2 -1 sem problemas ⇨ y = -x2 +0x -1)
\( x_v = - \Large{ {0} \over {2.(-1)} } \)
xv = 0
E quando x = 0 qual é o y ?
y = -02 -1
y = -1
Concluímos então que as coordenadas do vértice são (0, -1)
