Comecemos por eles, que estão em todos os cantos, literalmente 😁, são onipresentes e um dos elementos mais primordiais de toda a matemática os
Um ângulo é uma região delimitada por 2 retas, semirretas ou segmentos de retas
que determina o grau de abertura entre as retas.
O ponto onde elas se encontram é o
vértice e as retas são os lados do ângulo
Podemos nos referir à ele de 3 formas diferentes: AÔB, BÔA (o vértice sempre no meio com um chapéu) ou simplesmente Ô, outra prática muito comum é darmos um nome, por exemplo α
E claro que se o ângulo mudar as letras também mudam, exemplo
é o ângulo DÊF, FÊD ou Ê, e novamente nós também podemos nomeá-lo, o nome não precisa mudar, pode ser α novamente
mas também poderia ser β, γ (gama) etc.
É importante mencionar também que não importa a distância para o vértice, o ângulo
não muda, ou seja os ângulos abaixo são exatamente iguais
As unidades de um ângulo são
graus ou
radianos, exemplos, 10°, 20°, π rad, 2π rad etc.
No início dos nossos estudos, o grau é a unidade mais utilizada (posteriormente será muito comum vermos também os ângulos em radianos, nós falaremos sobre radianos mais para frente, não se preocupe) que pode ser subdividido em
minutos e em
segundos.
O valor dos minutos é representado por uma única aspa simples (‘).
O valor dos segundos é representado por duas aspas simples (‘‘).
Exemplos:
- 30° 20’ 30’’ ➝ 30 graus 20 minutos e 30 segundos
- 15° 10’ ➝ 15 graus e 10 minutos
Em 1° nós temos 60 minutos, ou nós podemos dizer também que 1° equivale à 60 minutos (1° ➝ 60 minutos).
Em 1 minuto nós temos 60 segundos, ou 1 minuto equivale à 60 segundos (1 minuto ➝ 60 segundos).
Operações com ângulos
Vejamos como somar e subtrair ângulos, e multiplicá-los por um número.
Mas aviso-lhe, não é muito frequente vermos segundos ou minutos aparecendo nas questões, muitas vezes os ângulos são dados apenas em graus, 10, 20, 30° etc. Por isso eu não estou explicando a divisão e recomendo que não passe muito tempo por aqui.
Então comecemos com a
Soma
Como somar 2 ângulos quaisquer, por exemplo 55° 35’ 40’’ +20° 50’ 35’’.
1º nós escrevemos um embaixo do outro
55° 35’ 40’’
20° 50’ 35’’
----------------
e somamos os segundos
40’’ +35’’ = 75’’
Se o valor for maior ou igual à 60, nós os convertemos para minutos.
75’’ equivalem à 1’ 15’’. Então nós escrevemos os segundos na coluna dos segundos
55° 35’ 40’’
20° 50’ 35’’
----------------
15’’
e o minuto vai para a coluna dos minutos
+1
55° 35’ 40’’
20° 50’ 35’’
----------------
15’’
Agora nós somamos os minutos
35 +50 +1 = 86
E novamente, se o resultado for maior ou igual à 60, nós devemos convertê-lo para graus.
86’ equivalem à 1º 26’, então nós escrevemos os minutos na coluna dos minutos
+1
55° 35’ 40’’
20° 50’ 35’’
----------------
26' 15’’
e o grau na coluna dos graus
+1 +1
55° 35’ 40’’
20° 50’ 35’’
----------------
26' 15’’
E por último nós somamos os graus
55 +20 +1 = 76 (eles podem passar de 60 e não precisamos convertê-los)
+1 +1
55° 35’ 40’’
20° 50’ 35’’
----------------
76° 26' 15’’
Só isso.
Se os ângulos forem inteiros, 10°, 20°, 30° etc, sem minutos nem segundos, basta somá-los, exemplo
140º +45º = 185°
Finalizo ressaltando que 1º nós devemos somar os segundos, depois os minutos e por último os graus, a ordem é importante.
Subtração
E para subtrair 12° 30’ 45’’ de 25° 10’ 5’’ ?
1º escrevemos um embaixo do outro
25° 10’ 5’’
- 12° 30’ 45’’
-------------------
Nós deveríamos começar subtraindo os segundos, 5 -45 (o de cima -o debaixo, nesta ordem), contudo como 5 é menor que 45, 1º nós temos que converter 1 minuto para 60 segundos
e somá-los com os 5 segundos que nós já temos
Podemos então subtrair os segundos
65 -45 = 20
⇩
Agora nós vamos subtrair os minutos 9 -30 (o de cima -o debaixo, nesta ordem), porém como 9 é menor que 30, nós temos que converter 1 grau para 60 minutos
e somá-los com os 9 minutos
60 +9 = 69
Podemos então subtrair os minutos
69 -30 = 39
⇩
E finalmente subtraímos os graus
Assim como na soma a ordem é importante, nós devemos começar subtraindo os segundos, subtraímos então os minutos e por último os graus.
Multiplicação
Como multiplicar um ângulo por um número ? Exemplo, quanto é 2.(15° 40’ 45’’) ?
1º nós multiplicamos tudo por 2 ➝
2.(15° 40’ 45’’) = 30° 80’ 90’’
Então convertemos os segundos e os minutos, nesta ordem, para minutos e graus, respectivamente, se eles forem maiores ou iguais que 60.
90’’ equivalem à 1’ 30’’, então nós substituímos 90’’ por 30’’ e acrescentamos 1’ ao ângulo
30° 80’ 90’’ ➝ 30° 81’ 30’’
81’ equivalem à 1° 21’, portanto
30° 81’ 30’’ ➝ 31° 21’ 30’’
E este é o resultado
2.(15° 40’ 45’’) = 31° 21’ 30’’
Para termos uma base sólida e robusta sobre ângulos, nós precisamos dominar seus
Conceitos e terminologia
Conseito num. 1: Congruência
Ângulos congruentes são ângulos que têm a
mesma medida, exemplo
α e β medem 10, 20, 30° etc., em notação matemática
α ≡ β
(≡, sinal de igual com um traço em cima, é o símbolo utilizado para indicar congruência)
Mas a bem da simplicidade nós podemos escrever
α = β
Conseito num. 2: Bissetriz
Reta que passa pelo vértice de um ângulo e o divide em 2 ângulos
congruentes
Conseito num. 3: Ângulos opostos pelo vértice
Informalmente: um está de um lado e o outro está do outro
Ou, um está em cima e o outro em baixo
ângulos opostos pelo vértice (o. p. v) são
congruentes.
Conseito num. 4: Ângulos consecutivos
São ângulos que possuem o mesmo vértice e um lado em comum, exemplo
AÔB e AÔC são consecutivos, têm 1 lado em comum, AO, e o mesmo vértice, O.
AÔB e BÔC também são consecutivos.
Conseito num. 5: Ângulos adjacentes
São ângulos
consecutivos que
não têm nenhum ponto interno em comum, exemplo, AÔB e BÔC da imagem anterior.
Veja a diferença, AÔB e AÔC são consecutivos, contudo eles têm infinitos pontos em comum, por exemplo p
AÔB e BÔC também são consecutivos mas
não possuem nenhum ponto interno em comum.
Ou seja,
todos os ângulos adjacentes são consecutivos, porém nem todos os ângulos consecutivos são adjacentes.
Terminologia: Relações entre ângulos
Ângulos complementares
Ângulos cuja soma dá 90 α + β = 90
Diz-se que α é complementar de β, ou β é complementar de α.
Ângulos suplementares
Ângulos cuja soma dá 180 α + β = 180
Diz-se que α é suplementar de β, ou β é suplementar de α.
Ângulos replementares
Ângulos cuja soma dá 360 α + β = 360
Diz-se que α é o replementar de β, ou β é o replementar de α.
Pronto, estes foram os principais termos e conceitos relacionados à ângulos. Continuemos nossa jornada estudando a
Classificação de acordo com sua medida
Nulo
Agudo
Reto
Obtuso
Raso
Pleno
E para terminamos a parte sobre ângulos, exploremos uma situação especial, que vez por outra aparece nos exercícios
Retas cortadas por uma transversal
Considere 2 retas
paralelas r e s cortadas por uma reta t formando 8 ângulos
os que estão entre r e s são conhecidos como
ângulos internos
os que estão acima de r ou abaixo de s são
ângulos externos
Eles guardam algumas relações entre si que nós precisamos conhecer, são elas
Correspondentes
a e w; b e f; c e g; d e h
Ou seja "a" é correspondente de w, b é correspondente de f, c é correspondente de g e d é correspondente de h.
Ângulos correspondentes são congruentes.
\( \text{Alternos}
\begin{cases}
\text{internos: b e h; c e w} \\
\text{} \\
\text{externos: a e g; d e f}
\end{cases}
\)
Ângulos alternos, internos ou externos, também são congruentes.
\( \text{Colaterais}
\begin{cases}
\text{internos: b e w; c e h} \\
\text{} \\
\text{externos: a e f; d e g}
\end{cases}
\)
Ângulos colaterais, internos ou externos, são suplementares.
Não tinha como continuarmos nossos estudos sem antes falarmos sobre ângulos, pois eles são
para o nosso próximo assunto os ...
Os triângulos são as figuras geométricas mais simples que nós temos, porém uma das mais importantes.
Triângulos são polígonos com 3 lados
3 vértices
e 3 ângulos internos (daí o seu nome tri-ângulo)
Nós podemos prolongar
qualquer um dos lados
e o ângulo que o prolongamento faz com o triângulo é conhecido como
ângulo externo
Condição de existência
Um triângulo abc
qualquer
somente pode existir se cada um dos lados for maior que o
módulo da diferença e menor que a soma dos outros dois
|a -c| < b < a +c
|b -c| < a < b +c
|a -b| < c < a +b
Propriedades
Lados e ângulos
O lado oposto ao maior ângulo
sempre será o maior lado
e o lado oposto ao menor ângulo, será
sempre o menor lado
Ângulos internos
A soma dos ângulos internos de
qualquer polígono convexo é
si = 180(n -2)
n: número de lados do polígono
Então para
qualquer triângulo nós temos
si = 180(3 -2)
si = 180°
Resumindo,
a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180°.
Ângulos externos
Um ângulo externo é igual a soma dos ângulos internos não adjacentes, exemplo
x = α +θ
Esta propriedade é conhecida como
Teorema do ângulo externo.
Temos também que x é o suplemento de β.
Mais um exemplo
w é igual a soma dos ângulos internos não adjacentes
w = β +θ
E w é o suplemento de α
α +w = 180°
Congruência de triângulos
2 triângulos T1 e T2 são congruentes se os 3 ângulos internos foram iguais e os 3 lados também
resumindo, eles são congruentes se forem exatamente iguais.
Observação: o símbolo ≡ também é utilizado para indicar a congruência de triângulos.
Nós sabemos que 2 triângulos são congruentes se eles satisfazem algumas condições, são os
Critérios de congruência
Caso LAL (lado-ângulo-lado)
Se 2 lados de um triângulo T1 forem iguais a 2 lados de T2 e os ângulos formados entre estes 2 lados em T1 e em T2 forem iguais, então podemos afirmar que eles são congruentes
Caso ALA (ângulo-lado-ângulo)
Se 2 ângulos de T1 forem iguais a 2 ângulos de T2
e os lados adjacentes a x e y em T1 e em T2 forem iguais então
T1 ≡ T2
Caso LAAo(lado-ângulo-ângulo oposto)
Se 2 triângulos têm 1 lado igual
um dos ângulos adjacentes a "b" em T1 é igual a um dos ângulos adjacentes a "b" em T2, por exemplo
e os ângulos opostos a "b" em T1 e T2 são iguais
então T1 e T2 são congruentes.
Caso LLL (lado-lado-lado)
Se os 3 lados de um triângulo forem iguais aos 3 lados de outro triângulo então eles são congruentes.
Elementos do triângulo
Além dos lados, vértices, ângulos internos e externos, os triângulos têm outros 2, são eles
Medianas
Mediana é um segmento de reta que liga um vértice do triângulo ao
ponto médio do lado oposto
dividindo-o em 2 partes do mesmo tamanho
Como os triângulos têm 3 vértices, eles têm 3 medianas
o ponto onde elas se encontram é conhecido como baricentro
falaremos mais sobre ele daqui a pouco.
Alturas
Altura é um segmento de reta que liga um vértice do triângulo ao lado oposto
tal que o segmento é
perpendicular ao lado oposto
Novamente, como os triângulos têm 3 vértices, eles têm 3 alturas
o ponto onde elas se encontram é conhecido como
ortocentro
mais sobre ele daqui a pouco.
Enquanto estiver estudando geometria e resolvendo questões, você irá se deparar frequentemente com alguns termos e nós devemos conhecer as principais características e propriedades dos triângulos, assim sendo é
primordial que nós estudemos as ...
Classificações dos triângulos
Os triângulos podem ser classificados de acordo com os
Lados
Escaleno
Os 3 lados têm tamanhos diferentes
e os 3 ângulos têm medidas diferentes
Isósceles
Tem 2 lados de mesmo tamanho
e 2 ângulos iguais
O lado com tamanho diferente, quando existe, é a base (α são os ângulos da base)
e o ângulo do vértice oposto a base é o
ângulo do vértice
A altura é o segmento de reta que liga o vértice com a base formando 90°
ela divide o ângulo do vértice em 2 ângulos iguais
e a base em 2 segmentos com o mesmo tamanho
portanto M é o
ponto médio da base.
Logo, a altura é também a mediana de V e a bissetriz do ângulo do vértice.
Equilátero
Os 3 lados têm o mesmo tamanho
e os 3 ângulos medem 60°
Observação: triângulos equiláteros também são isósceles.
E também podem ser classificados quanto aos
Ângulos
Acutângulo
Todos os ângulos são agudos (menores que 90°)
Retângulo
Tem 1 ângulo reto (90º)
Estudaremos triângulos retângulos mais a fundo futuramente.
Obtusângulo
Tem 1 ângulo obtuso (maior que 90 e menor que 180°)
Observação: nas relações acima “a” é o maior lado do triângulo.
Para finalizarmos esta 1ª parte falta vermos os
Pontos notáveis
Baricentro
Como nós já vimos, o baricentro é o ponto de encontro das
medianas
BM equivale a 1/3 de AM
e AB equivale a 2/3 de AM
Incentro
Ponto de encontro das bissetrizes
o incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo
Circuncentro
Encontro das
mediatrizes (mediatriz é uma reta que divide um segmento
perpendicularmente em duas partes de mesmo tamanho)
O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.
Se ele for acutângulo, o circuncentro é interno ao triângulo
Se ele for retângulo, o circuncentro é o
ponto médio da hipotenusa
E se ele for obtusângulo, o circuncentro é externo ao triângulo
Mediatrizes vs medianas
As duas interceptam um segmento no seu ponto médio, porém a mediatriz é
obrigatoriamente perpendicular ao segmento, a mediana não precisa ser.
Ademais, a mediana liga um vértice de um triângulo ao lado do posto, a mediatriz não tem nenhuma relação com os vértices de triângulos, note a discrepância na imagem abaixo, a mediana
obrigatoriamente passa pelo vértice, a mediatriz não
Ortocentro
Encontro das alturas.
No triângulo acutângulo, o ortocentro é interno ao triângulo
No triângulo retângulo, o ortocentro é o vértice do ângulo reto
E no triângulo obtusângulo, o ortocentro é externo ao triângulo
Bico
Nos triângulos equiláteros todos estes pontos baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro coincidem, dando origem a um ponto conhecido como bico
Terminamos a 1ª parte de triângulos, vamos praticar um pouco, para então prosseguirmos com a teoria.
