Vamos continuar com nossos estudos sobre triângulos, mas antes vamos dar uma olhada no ...
Considere um feixe de retas paralelas cortadas por 2 transversais
segundo o teorema de Tales, a razão entre 2 segmentos quaisquer de uma reta é igual à razão entre os 2 segmentos correspondentes da outra reta.
Funciona assim, você pode escolher 2 segmentos
quaisquer de uma reta, por exemplo AB e BD
a razão \( \Large{ {AB} \over {BD} } \) é igual à razão entre os segmentos
correspondentes da outra reta
e claro que nós poderíamos ter o inverso das razões, \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ { \Large{ {BD} \over {AB} } } = { \Large{ {B’D’} \over {A’B’} } } }\)
Mais um exemplo, a razão entre os segmentos BC e AD
é igual à razão entre B’C’ e A’D’
e por aí vai.
Dois triângulos são semelhantes se e somente se os 3 ângulos forem congruentes e os lados homólogos proporcionais.
Pode ser um pouco difícil de entender, então vamos por partes.
1º os 3 ângulos devem ser congruentes, assim nós temos um triângulo T1 com os ângulos x, y e z
T2 é semelhante a T1 se ele tiver os mesmos ângulos x, y e z (a posição deles é irrelevante)
e os lados homólogos proporcionais.
Mas o que são lados homólogos ? 🤔
São lados opostos ao mesmo ângulo.
“a” é o posto a y
o homólogo de “a” em T2 é a’
“b” é o posto a z
portanto seu homólogo em T2 é b’
e c’ é o homólogo de “c”.
Assim, “a” é proporcional, um múltiplo, de a’ ⇨
a = ka’
“b” é múltiplo, de b’ ⇨
b = kb’
E “c” é múltiplo, de c’ ⇨
c = kc’
Em triângulos semelhantes, as razões entre os lados homólogos são todas iguais, isto quer dizer que
\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ { \Large{ {a} \over {a'} } } = { \Large{ {b} \over {b'} } } = { \Large{ {c} \over {c'} } } } \)
como todas estas razões valem k, concluímos que \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ { \Large{ {a} \over {a'} } } = { \Large{ {b} \over {b'} } } = { \Large{ {c} \over {c'} } } = k } \)
k é conhecida como
razão de semelhança ou
constante de proporcionalidade.
Se k =1, significa que os lados dos triângulos são iguais e por conseguinte eles são congruentes.
Ademais, a proporcionalidade se mantém para outras medidas e segmentos
correspondentes, como alturas, medianas, raios das circunferências inscrita e circunscrita, perímetros etc.
Exemplos, a razão entre as alturas dos vértices x
também é k, \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ { \Large{ {H} \over {h} } } = k } \)
A razão entre os perímetros de T1 e T2
é k, \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ { \Large{ {p_1} \over {p_2 } } } = k } \)
Detalhe. Você pode dividir p
1 por p
2, ou p
2 por p
1, \( { \Large{ {p_1} \over {p_2 } } }= k \) ou \( { \Large{ {p_2} \over {p_1 } } } = k \), escolha o que for mais conveniente, ou ao invés de \( { \Large{ {a} \over {a’} } } = k \) pode-se dividir \( { \Large{ {a’} \over {a} } } = k \).
Enfim, você que decide a medida de qual triângulo vai no numerador e qual irá no denominador, porém … Após sua definição você deve segui-la até o fim.
Exemplo, se nós tivermos 2 triângulos, T1 e T2, um grande e um pequeno
e escolhermos dividir a medida do grande pela do pequeno \( { \Large{ {a} \over {a’} } }= k\), em relações futuras a(s) medida(s) do grande deve(m) ir em cima e a(s) medida(s) do pequeno deve(m) ir em baixo
Outra informação
importante que eu não poderia esquecer de passar:
toda reta paralela a um dos lados do triângulo que o
intercepta, determina um outro triângulo semelhante ao primeiro.
Veja, temos um triângulo
passou uma reta por ele, paralela a um dos lados
determinou um triângulo semelhante a T1
A razão entre as áreas é o
quadrado de k \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ { \Large{ {A_1} \over {A_2} } }= k^2 }\)
A1: área de um dos triângulos
A2: área do outro triângulo
Para determinarmos se 2 triângulos são semelhantes nós utilizamos os
Critérios de semelhança
Caso LLL (lado-lado-lado)
Se os 3 lados de um triângulo forem proporcionais aos 3 lados de outro triângulo eles são semelhantes
(~ é o símbolo utilizado para indicar semelhança)
Caso LAL (lado-ângulo-lado)
Se 2 triângulos têm 2 lados proporcionais
e se o ângulo formados por eles em T1 e em T2 forem congruentes
então os triângulos são semelhantes.
Caso AA (ângulo-ângulo)
Se 2 triângulos têm 2 ângulos iguais
então eles são semelhantes.
A seguir nós veremos duas propriedades e um conceito relacionados a triângulos
Como nós já vimos triângulos retângulos são triângulos que têm 1 ângulo reto
e 2 ângulos agudos
O lado oposto ao ângulo de 90° é a
hipotenusa
e os outros dois são os
catetos
h é a altura relativa à hipotenusa
Relações métricas no triângulo retângulo
Teorema de Pitágoras
Em
todo triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos
a2 = b2 +c2
O teorema de Pitágoras é uma das relações mais importantes, eu irei apresentar outras 3, contudo muitas vezes elas não são necessárias na hora de resolver as questões.
Elas estão aqui mais como uma referência, caso você precise.
1ª relação
O quadrado de cada cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção do cateto sobre a hipotenusa.
Veja, CD é a projeção de b sobre “a”
portanto
b2 = a. CD
DB é a projeção de c sobre “a”
assim
c2 = a. DB
2ª relação
O quadrado de h é igual ao produto dos segmentos que ela determina sobre a hipotenusa.
h divide a hipotenusa em 2 segmentos CD e DB
assim
h2= CD. DB
3ª relação
O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela sua altura
b. c = a. h
Seno, cosseno e tangente
Estas relações são tão importantes quanto o teorema de Pitágoras.
Seno
O seno de um ângulo é \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ seno = \Large{ {cateto\; oposto} \over {hipotenusa} } } \)
Assim \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ {sen\;\alpha = \Large{ {c} \over {a} } };\; {sen\;\beta = \Large{ {b} \over {a} } } } \)
Cosseno
O cosseno de um ângulo é \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ cos = \Large{ {cateto\; adjacente} \over {hipotenusa} } } \)
Assim \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ {cos\;\alpha = \Large{ {b} \over {a} } };\; {cos\;\beta = \Large{ {c} \over {a} } } } \)
Tangente
A tangente de um ângulo é \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ tg = \Large{ {cateto\; oposto} \over {cateto\; adjacente} } } \)
Então \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ {tg\;\alpha = \Large{ {c} \over {b} } };\; {tg\;\beta = \Large{ {b} \over {c} } } } \)
A tangente de um ângulo, por exemplo α, também pode ser definida como \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{tg\;\alpha = \Large{ {sen\;\alpha} \over {cos\;\alpha} } } \).
E claro que o mesmo vale para β \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{tg\;\beta = \Large{ {sen\;\beta} \over {cos\;\beta} } } \)
Para cos α ≠ 0 e cos β ≠ 0.
Se cos α = 0 ou cos β = 0, a tangente do ângulo é
indefinida.
Nota: as relações de seno, cosseno e tangente estão definidas apenas para os ângulos agudos do triângulo retângulo.
Relação fundamental seno e cosseno
Para
qualquer ângulo x
sen2x +cos2x = 1
Alguns valores de senos, cossenos e tangentes você tem que saber de cabeça, são eles
