Agora daremos início ao estudo das circunferências, seus elementos e propriedades.
Se de um ponto P traçarmos duas retas que tangenciam a circunferência nos pontos A e B
então, temos que o comprimento PA é igual ao comprimento PB.
Consequentemente, nós temos que se uma circunferência estiver inscrita em um quadrilátero
a soma de 2 lados
opostos é igual a soma dos outros dois, ou seja,
AB +DC = AD +BC
Esta propriedade é conhecida como
teorema de Pitot.
E claro que ao falarmos sobre circunferências, não podemos deixá-lo de fora, o
Esta é uma constante que vale aproximadamente 3, 14 obtida da razão entre o comprimento de uma circunferência e o seu diâmetro, \(\pi = \Large{ {C} \over {d} } \).
Reescrevendo a equação acima nós temos que o comprimento de uma circunferência é
Há alguns ângulos notáveis quando falamos sobre circunferências e o 1º deles é o
ângulo central, que pode ser definido como sendo o ângulo entre 2 raios r1 e r2
quaisquer, ou poderíamos dizer também que é o ângulo com vértice no centro da esfera
Nós podemos medir um ângulo em graus ou radianos, mas o que é um radiano ?
Ora, para cada ângulo central há um arco de circunferência correspondente e vice-versa, no exemplo acima r1 e r2, que medem r, formam o arco AB
logo AB é o arco correspondente de α.
Tá bom.
α mede 1 radiano, ou 1 rad, se o comprimento de AB for
igual ao raio
α mede 2 rad se o comprimento de AB for o dobro do raio
α mede 2, 5 rad se o comprimento de AB for 2, 5x maior que o raio
e por aí vai.
Note que um ângulo em radianos relaciona o tamanho/comprimento de um arco com o raio da circunferência e 1 radiano equivale a 1 raio.
Então, sabendo que 360º valem 2π rad (e 180º valem π rad)
o comprimento de uma circunferência equivale aproximadamente a 6, 28x o raio
Se nós quisermos converter um ângulo de graus para radianos, ou vice-versa, basta fazer uma regra de 3, 180º valem π rad, então α graus valem x
180 --------- π rad
α ------------ x
\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ x = { \Large{ {\alpha \pi} \over {180º} } }rad }\)
E se o ângulo central mede α graus ou radianos, seu arco correspondente também mede α graus ou radianos (a medida do arco é igual à do ângulo central)
Além do ângulo central há outros que merecem nossa atenção, vejamos mais alguns
Ângulos notáveis
Ângulo inscrito
Ângulo cujo vértice encontra-se sobre a esfera
a medida do ângulo é a
metade do arco determinado por VA e VB, em outras palavras, se AB, em graus, mede α
θ mede α/2
Agora considere que o ângulo mede 90º
vamos traçar uma reta de A para B
nós formamos um triângulo retângulo.
A principal característica de triângulos retângulos inscritos em uma circunferência é que a hipotenusa tem o
mesmo tamanho do diâmetro da circunferência.
Ângulo de segmento ou ângulo semi-inscrito
Ângulo formado por uma corda que intercepta a circunferência nos pontos A e B e uma tangente que toca a circunferência em B
a medida do ângulo é a
metade do arco AB, em outras palavras, se AB, em graus, mede α
θ mede α/2, semelhante ao caso anterior
Ângulo excêntrico interno
Ângulo interno à circunferência, cujo vértice está fora do centro, determinado por 2 cordas que interceptam a circunferência nos pontos A, B, C e D
α é a média dos arcos AB e CD, ou seja, \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ \alpha = \Large{ {AB +CD } \over {2} } }\)
Ângulo excêntrico externo
Ângulo externo à circunferência determinado por 2 secantes que interceptam a circunferência nos pontos A, B, C e D
α é o arco maior -o arco menor dividido por 2, ou seja, \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ \alpha = \Large{ {AB -CD } \over {2} } }\)
Quadrilátero inscritível
Considere um quadrilátero qualquer
ele será inscritível, em outras palavras, pode ser inscrito em uma circunferência, se a soma dos ângulos
opostos for 180º, ou seja, a +c = 180º e b +d = 180º.
O contrário também é verdadeiro, se um quadrilátero está inscrito em uma circunferência, a soma dos ângulos opostos é 180º.
Esta propriedade é conhecida como
teorema de Ptolomeu.
Arco capaz
É o arco de circunferência sobre o qual um ângulo inscrito está situado, exemplo, o arco capaz de α
é o arco AB que
contém V
a principal propriedade do arco capaz é:
qualquer ângulo
inscrito cujo vértice encontra-se sobre o arco AVB e as cordas tangenciam a circunferência em A e B são iguais
Relações métricas
Considere duas cordas que se cruzam no ponto P
temos que o produto dos segmentos de uma corda é igual ao produto dos segmentos da outra.
Veja AB tem 2 segmentos AP e PB
e RS está dividida em RP e PS
como produto dos segmentos de uma corda é igual ao produto dos segmentos da outra
AP.PB = RP.PS
Agora considere duas secantes que se cruzam em um ponto P exterior à circunferência
neste caso o produto do segmento exterior à circunferência pelo segmento maior de uma reta é igual ao produto do segmento exterior à circunferência pelo segmento maior da outra reta.
Assim.
A reta PB tem um segmento exterior à circunferência ⇨ PA
e um segmento maior ⇨ PB
O segmento exterior à circunferência de PS é PR
e segmento maior seria PS
então nós temos
PA. PB = PR. PS
E por fim nós temos uma secante e uma tangente
O produto do segmento exterior à circunferência pelo segmento maior da secante é igual ao
quadrado do segmento tangente.
Nós já vimos os segmentos exterior e maior de PB
o segmento tangente é PT
portanto
PA. PB = PT2
Já estamos acabando, só falta ...
Grandezas e medidas
Comprimento de um arco
Para encontrar o comprimento de um arco cujo ângulo central mede α graus
é só fazer uma regra de 3, 360º tem 2πr (m, cm, dm …), então α graus tem s
360 --------- 2πr
α ---------- s
\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ s = { \Large{ {\alpha \pi r} \over {180} } } }\)
r: raio da circunferência
Se o ângulo estiver em radianos a regra de 3 fica assim, 2π rad tem 2πr (m, cm, dm …), então x radianos tem s
2π --------- 2πr
x --------- s
s = xr
Setor circular
Um setor circular é um pedaço de um círculo ou a região delimitada por um arco de comprimento l e 2 raios
a área do setor em função do ângulo central também pode ser calculada por uma regra de 3, 360º tem πr
2 (m
2, cm
2, dm
2 …), então α graus tem a
360 --------- πr
2
α --------- a
\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ a = { \Large{ {\alpha \pi r^2} \over {360} } } }\)
Se o ângulo estiver em radianos a regra de 3 fica assim, 2π rad tem πr
2 (m
2, cm
2, dm
2 …), então x radianos tem a
2π --------- πr
2
x --------- a
\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ a = { \Large{ {x r^2} \over {2} } } }\)
A área do setor em função do comprimento do arco será, 2πr tem πr
2 (m
2, cm
2, dm
2 …), então l tem a
2πr --------- πr
2
l --------- a
\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ a = { \Large{ {l r} \over {2} } } }\)
Finalmente acabamos a 3ª e última parte de ângulos, triângulos e circunferências.
Mas infelizmente nós ainda não aprendemos nada 😐. Ora, como poderíamos aprender alguma coisa sem praticar ?! Está na hora de colocar a mão na massa ⏬
