Funções seno e cosseno

O gráfico de f(x) = sen x, é uma curva chamada senoide




cujos valores variam entre +1 e -1




e cujas características mais notáveis são a amplitude e a periodicidade.


Amplitude é a distância entre a linha média e o máximo ou o mínimo da função.

A linha média, é uma reta horizontal equidistante do máximo e do mínimo da função, neste caso ela é o eixo x




Em outras palavras, a amplitude equivale a metade da distância do mínimo ao máximo da função e pode ser calculada pela fórmula

\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ b = \Large{ {p_{max} -p_{min} } \over {2} } }\)




Além do mais os valores de f(x) se repetem, veja, de 0º a 180º, f(x) é positiva




de 180º a 360º f(x) é negativa




de 360º a 540º f(x) volta a ser positiva




de 540º a 720º f(x) é negativa + uma vez




e assim segue.





A cada 360º nós temos um período




por isso nós também podemos dizer que sen (x) = sen (x +360º)



Mas por que ela apresenta este comportamento ?

Se nós olharmos no círculo trigonométrico, os senos de 0º a 180º são positivos




de 180º a 360º são negativos




Então voltam a se repetir, de 360º a 540º são positivos




de 540º a 720º são negativos

por isso os valores de f(x) se repetem e por isso que um período tem 360º.

Isto é a periodicidade, a repetição dos valores de f(x).



Outra característica da função seno é que ela é ímpar, ou seja, sen(-x) = - sen(x) .

Nós podemos observar este aspecto ao voltarmos nossa atenção para o círculo trigonométrico.

Considere um ângulo α qualquer




e - α, um ângulo que se inicia em A mas desloca-se no sentido horário




note que α e - α tem o mesmo cosseno




e portanto os senos também são iguais, diferindo apenas no sinal




Se você ainda não leu, a nossa explicação sobre redução ao 1º quadrante pode ajudar.

A função seno pode sofrer algumas alterações por causa de alguns fatores.

Você pode se deparar com uma função que se assemelha a f(x) = a +b. sen(cx +d) .

Vejamos como a, b, c e d impactam f(x).

O “a” desloca a função verticalmente para cima ou para baixo e consequentemente altera a posição da linha média.

Se a > 0, a função será deslocada “a” unidades para cima.
Se a < 0, a função será deslocada “a” unidades para baixo.

Exemplo, considere f(x) = sen (x) cuja linha média é o eixo x




se a = 1, então f(x) = 1 +sen (x).
O máximo será 2, o mínimo será 0 e a linha média estará em 1




se a = -1, então f(x) = -1 +sen (x) o máximo será 0, o mínimo será -2 e a linha média estará em -1




O “b” altera a amplitude da função.

Se b = 2, então f(x) = 2sen (x) o máximo será 2, o mínimo será -2 e a amplitude será 2




Se b = 3, então f(x) = 3sen (x) o máximo será 3, o mínimo será -3 e a amplitude será 3




Se o “b” for negativo as curvas serão invertidas, ou seja, os picos que estavam para cima ficarão para baixo e os picos que estavam para baixo ficarão para cima, exemplo, se b = -2, então f(x) = -2sen (x) o máximo ainda será 2, o mínimo será -2 e a amplitude será 2




contudo, o gráfico está para baixo




A amplitude da função é o módulo de “b”, ou seja, a amplitude de f(x) = a +b. sen(cx +d) é A = |b|


“c” altera o período.
Que pode ser de 360° ou 2π




180° ou π




90° ou π/2




e por ai vai.

O período de uma função seno pode ser calculado pela fórmula \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ { P = \Large{ {360º} \over {|c|} } }\; ou\; { P = \Large{ {2\pi} \over {|c|} } } }\)

“d” desloca o gráfico horizontalmente para a esquerda ou para a direita sem alterar o máximo e o mínimo, a amplitude, nem o período.