A geometria analítica é o campo da matemática que estuda as formas e os conceitos geométricos utilizando as ferramentas da álgebra, ou seja, nós iremos representar e explorar os elementos da geometria através de equações.
Um dos elementos mais basilares com o qual você já deve estar familiarizado é o plano cartesiano.
Um sistema de coordenadas que nos possibilita localizar um ponto no espaço, formado por duas retas perpendiculares entre si, uma na vertical conhecida como eixo y, ou eixo das ordenadas, e outra na horizontal conhecida como eixo x, ou eixo das abscissas
tendo como origem o ponto onde x e y se cruzam
Pois bem, para cada ponto no plano cartesiano nós podemos atribuir um par de valores que identificam sua localização, exemplo as coordenadas do ponto A
são 4
e 3
em notação matemática nós escrevemos A(4, 3), onde o 1º número representa o x (posição horizontal) e o 2º representa o y (posição vertical), sempre, o 1º valor sempre é o x e o 2º sempre é o y.
Distância entre 2 pontos
A distância entre 2 pontos A(xa, ya) e B(xb, yb) quaisquer é \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ D_{AB} = \sqrt{(x_b -x_a)^2 +(y_b -y_a)^2} }\).
Exemplo, a distância entre (-5, 4) e (0, -2) é
\( D = \sqrt{(-5 -0)^2 +(4 -(-2))^2}\)
\( D = \sqrt{25 +36}\)
\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ D = \sqrt{61} }\)
Mas quem é o A ? E quem é o B ? (-5, 4) é o A ou o B ? E (0, -2) ? Seria o A ou o B ? Tanto faz, vamos tentar calcular a distância entre eles de uma forma ligeiramente diferente
\( D = \sqrt{(0 -(-5))^2 +(-2 -4)^2}\)
\( D = \sqrt{25 +36}\)
\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ D = \sqrt{61} }\)
Chegamos no mesmo resultado, ou seja, quem é o A e quem é o B é irrelevante, não se preocupe com isso.
Só falta deduzirmos a fórmula acima, algo que podemos fazer facilmente: considere 2 pontos A(xa, ya) e B(xb, yb) quaisquer
a distância horizontal entre os 2 é xb -xa
a distância vertical é yb -ya
A distância entre A e B é a hipotenusa do triângulo retângulo ABC
que pode ser calculada pela expressão \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ D_{AB} = \sqrt{(x_b -x_a)^2 +(y_b -y_a)^2} }\).
Daí vem a fórmula da distância entre 2 pontos.
Dados 2 pontos, outro ponto que merece destaque é o
Ponto médio
Considere novamente os pontos A (xa, ya) e B (xb, yb)
C(xc, yc) é o ponto médio entre A e B se ele for equidistante de A e B, em outras palavras, a distância de C a A é igual a distância de C a B
Dados 2 pontos quaisquer, nós sempre poderemos traçar uma reta que passa por eles, mas como saber se 3 pontos estão alinhados ?
Alinhamento de pontos
Para que 3 pontos P1(x1, y1), P2(x2, y2) e P3(x3, y3) sejam colineares, ou em outra palavras, se eles pertencem à mesma reta
o determinante da matriz de P1, P2 e P3 é 0
Caso você tenha esquecido como calcular o determinante de uma matriz 3x3 vamos relembrar.
O processo é conhecido como Regra de Sarrus (lê-se regra de sarri) , que funciona assim:
1º nós copiamos as 2 primeiras colunas à direita do determinante
em seguida nós multiplicamos os elementos na diagonal 1, diagonal 2 e na diagonal 3
depois multiplicamos os elementos na diagonal 4 e multiplicamos o resultado por -1, multiplicamos os elementos na diagonal 5 e multiplicamos o resultado por -1 e fazemos o mesmo na diagonal 6
e finalmente somamos tudo det = x1y2 +y1x3 +x2y3 -y2x3 -x1y3 -y1x2
Se det = 0, os pontos são colineares.
Bem, já que nós estamos estudando geometria analítica, vamos dar uma olhada em alguns conceitos e formas geométricas do ponto de vista algébrico.
E por que não começarmos com um dos conceitos mais simples as
Retas
Elas podem ser representadas pela
Equação geral da reta
ax +by +c = 0
ou sua variante mais popular a
Equação reduzida
y = mx +n
O n é conhecido como como coeficiente linear, e sua principal característica é que ele determina o ponto onde a reta cruza o eixo y
O m é o coeficiente angular ou declividade, ele determina a inclinação da reta e seu comportamento.
Se m < 0 a reta é decrescente
Se m = 0 nós temos uma reta horizontal que cruza o eixo y em n
Se m > 0 a reta é crescente
Se o m não existir, ou for indeterminado, a reta é vertical descrita pela equação x = c, que cruza o eixo x em c
Nós também podemos encará-lo como a tangente do ângulo que o eixo x faz com a reta, veja, considere uma reta qualquer
que forma um ângulo α como o eixo x
então temos que m = tg α
α é um ângulo com origem no eixo x medido no sentido anti-horário até a reta.
O valor de m pode ser calculado facilmente, além da tangente de α, pela fórmula \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ m = \Large{ {y -y_0} \over {x -x_0} } }\)
x e y: coordenadas de um ponto por onde a reta passa
x0 e y0 : coordenadas de outro ponto por onde a reta passa
Esta fórmula é bem interessante porque nos permite encontrar a equação de uma reta dados seu coeficiente angular e um de seus pontos, justamente o nosso próximo assunto.
Encontrar a equação de uma reta
Dados o coeficiente angular e um dos pontos, basta substituir os valores na fórmula acima.
Exemplo, se uma reta passa por (0, 4) tal que m = 1, qual equação descreve-a ?
Então temos que x0 = 0, y0 = 4 e m = 1, portanto
\( 1 = \Large{ {y -4} \over {x -0} }\)
y = x +4
Só isso.
Outro caso muito comum é termos que descobrir a equação da reta tendo apenas 2 pontos por onde ela passa, nesta situação é só substituir o x e o y na equação reduzida e resolver o sistema resultante.
Exemplo, qual a equação da reta que passa pelos pontos (1, 5) e (3, 7) ?
É assim que nós determinamos a representação algébrica de uma reta.
A equação reduzida é a mais popular, porém a equação geral é extremamente útil para calcularmos a
Distância de um ponto a uma reta
Dados um ponto qualquer P(x0, y0) e uma reta de equação geral ax +by +c = 0
a distância de P a reta é \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ d = \Large{ {|{ ax_0\;+by_0\; +c }|} \over {\sqrt{a^2 +b^2} } } }\)
Ponto de intersecção de 2 retas
Dadas duas retas, a 1ª pergunta que nós devemos fazer é: elas se cruzam ?
Duas retas podem ser paralelas (nenhum ponto em comum), concorrentes/perpendiculares (1 único ponto em comum) ou coincidentes (infinitos pontos em comum).
Classificá-las é bem tranquilo, pois elas apresentam algumas características simplórias
Ué ? A principal característica das retas paralelas e coincidentes é que elas possuem a mesma declividade ? E se tivermos duas retas com o mesmo coeficiente angular como saberemos se elas são paralelas ou coincidentes ?
Muito simples, se elas tiverem pelo menos 1 ponto em comum são coincidentes, caso contrário são paralelas.
Outra peculiaridade das retas coincidentes é que elas são definidas por equações que aparentam serem diferentes, mas na verdade são exatamente iguais. Não entendeu ? Vejamos um exemplo.
r: 2x +3y -1 = 0 e \( s: y\;-2 = \Large{ {-2x\; -5} \over {3} } \) são paralelas, concorrentes ou coincidentes ?
Por quê não começamos reescrevendo a equação de s, para deixá-las mais parecidas
\(y\;-2 = \Large{ {-2x\; -5} \over {3} } \)
3y -6 = -2x -5
2x +3y -1 = 0
Viu? r e s apenas aparentam serem diferentes, mas são exatamente iguais, assim sendo, as retas que elas definem também são. r e s são coincidentes.
E por definirem a mesma reta nós dizemos que 2x +3y -1 = 0 e \( y\;-2 = \Large{ {-2x\; -5} \over {3} } \) são equivalentes.
E estas r: y = 2x +5 e s: y = 3x +5 são paralelas, concorrentes ou coincidentes ?
Oras, os coeficientes angulares são diferentes
então elas são concorrentes.
Mas qual o ponto onde elas se cruzam ?
As equações de r e s formam um sistema
\( \begin{cases}
y = 2x\; +5 \; (eq1) \\
y = 3x\; +5\; (eq2)
\end{cases} \)
O que nós estamos procurando é o par de valores (x, y) que satisfaz as 2 equações simultaneamente, e para encontrá-lo nós só precisamos resolver o sistema.
Para tanto, vamos igualar as equações (estratégia muito comum para resolver este tipo de problema)
2x +5 = 3x +5
x = 0
Agora vamos substituir x em eq1 ou eq2, tanto faz, você que escolhe, fiquemos com eq1
y = 2. 0 +5
y = 5
Acabamos de descobrir as coordenadas do ponto onde r e s se cruzam (0, 5).
Mais um exemplo, classifiquemos as retas r: y = 2x +4 e s: y = 2x +5.
Humn … os coeficientes angulares são iguais
logo, ou elas são paralelas ou coincidentes. Devemos encontrar o ponto onde elas se cruzam.
Vamos montar o sistema
\( \begin{cases}
y = 2x\; +4 \\
y = 2x\; +5
\end{cases} \)
Agora é só resolvê-lo.
Vamos igualar as equações
2x +4 = 2x +5
0 = 1
Opa. Encontramos uma inverdade, lembra ?
Inverdades são características de sistemas impossíveis (S. I), sistemas que não possuem solução, ou seja, não há nenhum par de valores (x, y) que satisfaça as equações simultaneamente, então concluímos que r e s não têm nenhum ponto em comum, são paralelas.
E por fim, sejam m1 e m2 os coeficientes angulares de duas retas.
Se o produto m1. m2 for -1, elas são perpendiculares, exemplo, s: y = -x +5 e r: y = x +5.
-1. 1 = -1 r e s são perpendiculares.
Resumindo, se as retas têm o mesmo coeficiente angular podem ser paralelas ou coincidentes, se elas têm pelo menos 1 ponto em comum são coincidentes, caso contrário são paralelas.
Se os coeficientes angulares forem diferentes, as retas são concorrentes ou perpendiculares.
Agora que nós terminamos a reta vamos ver como calcular a área de um polígono dados os seus vértices, mas antes nós precisamos dar uma olhada no
Baricentro do triângulo
O baricentro de um triângulo é o ponto de encontro das medianas.
Uma mediana é uma reta que sai de um vértice e chega no ponto médio do lado oposto.
Considere um triângulo qualquer cujos vértices são A(xa, ya), B(xb, yb) e C(xc, yc)
A reta que sai de A e chega no ponto médio de BC é uma mediana
a reta que sai de B e chega no ponto médio de AC é outra mediana
e por fim a reta que sai de C e chega no ponto médio de AB é + uma mediana
Nós podemos calcular a área de um polígono (triângulo, quadrângulo, pentágono, hexágono etc) dadas as coordenadas dos vértices, vejamos como.
Observação: acredito que este método só funciona com polígonos convexos.
Qual a área do triângulo cujos vértices são A (2, 3), B (3, 5), C (5, 1) ?
1º vamos desenhá-lo
sempre comece desenhando o polígono.
2º nós devemos escolher um vértice de origem, pode ser qualquer um, vamos escolher o C
e escrever suas coordenadas em uma tabela
Agora nós devemos visitar cada um dos vértices, ordenadamente, no sentido horário ou anti-horário, você que escolhe, e escrever as coordenadas de cada um deles na tabela
Vamos no sentido horário
o próximo vértice é o A
cujas coordenadas são (2, 3)
o próximo vértice é o B (3, 5)
por fim nós repetimos as coordenadas do vértice de origem
agora nós multiplicamos os valores em diagonais como mostra a figura
então nós multiplicamos os valores em diagonais da direita para a esquerda e multiplicamos o produto por -1
somamos tudo
d = 15 +10 +3 -2 -9 -25
d = -8
e finalmente a área é o módulo da soma dividido por 2
\( a = \Large{ {|-8|} \over {2} } \)
a = 4 u. a (u. a = unidades de área)
Mais um exemplo, vamos calcular a área do pentágono de vértices A (-3, 1), B (3, 1), C (-2, -3), D (0, 3) e E (2, -3)
1º vamos desenhá-lo
o nosso vértice de origem será o E
vamos visitar os vértices no sentido anti-horário
então o próximo é o B (3, 1)
o próximo é o D (0, 3)
o próximo é o A (-3, 1)
o próximo é o C (-2, -3),
e repetimos as coordenadas do vértice de origem
multiplicamos os valores em diagonais da esquerda para a direita
multiplicamos os valores em diagonais da direita para a esquerda e multiplicamos o produto por -1
somamos tudo
d = 2 +9 +0 +9 +6 +9 +0 +9 +2 +6
d = 52
e finalmente a área é o módulo da soma dividido por 2
\( a = \Large{ {|52|} \over {2} } \)
a = 26 u. a
Se o polígono for côncavo, você pode tentar dividi-lo e calcular a área das partes separadamente, exemplo, para calcularmos a área do quadrângulo de vértices A (1, 1), B (3, 5), C (5, 1) e D (3, 2)
Nós podemos dividi-lo em 2 triângulos
calcular a área de T1, a1
calcular a área de T2, a2
e somar a1 +a2.
E mais um detalhe, você pode ver a tabela das coordenadas dos vértices na horizontal
não tem problema e não há nenhuma grande diferença entre a tabela na horizontal e na vertical, o trabalho é o mesmo e não se preocupe com detalhes irrelevantes.
Já vimos pontos, retas e um pouquinho de triângulo, para completarmos nosso estudo introdutório da geometria analítica está faltando apenas as
Circunferências
Assim como as retas, as circunferências também podem ser descritas por equações bem características
Equação reduzida da circunferência
(x -a)2 +(y -b)2 = r2
ou sua variante
Equação normal da circunferência
x2 +y2 +Ax +By +C = 0
na 1ª equação
a: abscissa do centro da circunferência
b: ordenada do centro da circunferência
r: raio da circunferência
⇩
Na 2ª equação (estas relações são importantes)
A = -2a
B = -2b
C = a2 +b2 -r2
Posições relativas entre um ponto e uma circunferência
Considere uma circunferência c de raio r e um ponto p quaisquer.
dcp é a distância do centro de c a p
Se dcp < r, p é interno a c.
Se dcp = r, p pertence a c.
Se dcp > r, p é externo a c.
Posições relativas entre uma reta e uma circunferência
Agora considere a circunferência c de raio r e uma reta s quaisquer.
dcs é a distância do centro de c a s
Se dcs < r, s é secante à c.
Se dcs = r, s é tangente à c.
Se dcs > r, s é externa à c.
Para descobrirmos o(s) ponto(s), se houver, onde elas se tocam, nós só precisamos resolver o sistema formado pelas equações da reta e da circunferência, se o sistema tiver 2 soluções a reta é secante, se o sistema tiver 1 única solução a reta é tangente, se o sistema não tiver nenhuma solução a reta é externa
Exemplos.
s: y = x é secante, tangente ou externa em relação a c: x2 +y2 -4x -6y +3 = 0 ? E o(s) ponto(s) onde elas se cruzam, se houver.
Vamos começar montando o sistema com as equações de s e c
O sistema tem 1 única solução, portanto s é uma tangente de c, e o ponto de tangenciamento é (14/4, 1/2)
Já é o suficiente, creio que você já tenha entendido.
Posições relativas entre duas circunferências
Considere 2 circunferências: λ (lambda) de raio r 1 e centro c1 e γ (gama) de raio r 2 e centro c2.
E seja dλγ a distância de c1 a c2.
Elas podem ser:
Concêntricas: o centro de λ é igual ao centro de γ, c1 = c2
Externas: não se tocam
Temos que dλγ > r1 +r2
Secantes: se interceptam em 2 pontos
Temos que dλγ < r1 +r2
Tangentes externas: tocam-se em 1 ponto
Temos que dλγ = r1 +r2
Circunferências internas: uma é interna a outra e elas não se tocam
Temos que dλγ < r1 -r2
Tangentes internas: tocam-se em 1 ponto e uma é interna a outra
Temos que dλγ = r1 -r2
Para determinarmos a posição relativa entre duas circunferências e encontrarmos o(s) ponto(s) onde elas se tocam, se houver, nós só precisamos resolver o sistema formado pelas equações das 2 circunferências.
Se o sistema não tiver nenhuma solução as circunferências não se tocam.
Se o sistema tiver 1 única solução as circunferências são tangentes.
Se o sistema tiver 2 soluções as circunferências são secantes.
Exemplos.
Determine o(s) ponto(s), se houver, onde γ: x2 +y2 +4x = 0 e λ: x2 +y2 +6x = 0 se tocam.
Para descobrirmos é só substituir x em eq1 ou eq2, você que escolhe, fiquemos com eq1
02 +y2 +4. 0 = 0
y = 0
O sistema tem 1 única solução, portanto λ e γ são tangentes sendo (0, 0) o ponto de tangenciamento.
Mas elas são internas ou externas ?
1º nós precisamos determinar os centros e os raios de λ e γ.
Comecemos por γ.
Vamos adicionar 2 termos no lado esquerdo da equação
x2 +y2 +4x +0y +0 = 0
Nós podemos adicionar 0y e 0 sem problema nenhum pois são termos nulos.
Agora compare x2 +y2 +4x +0y +0 = 0 com a equação normal da circunferência
x2 +y2 +Ax +By +C = 0
x2 +y2 +4x +0y +0 = 0
o que eu preciso que você veja é que A = 4, B = 0 e C = 0
O x do centro é o coeficiente do x dividido por -2
\( x_c = \Large{ {A} \over {-2} } \)
\( x_c = \Large{ {4} \over {-2} } \)
xc = -2
O y do centro é o coeficiente do y dividido por -2
\( y_c = \Large{ {B} \over {-2} } \)
\( y_c = \Large{ {0} \over {-2} } \)
yc = 0
Observação: dividir os coeficientes de x e y por -2 só funciona se os coeficientes de x2 e y2 forem 1.
Se os coeficientes de x2 e y2 forem n, tal que n ≠ 1, 1º você divide a equação por n e só depois divide os coeficientes de x e y por -2.
O raio é a raiz quadrada do quadrado de xc + quadrado de yc -C.
C é o termo independente
\( r = \sqrt {x_c^2\; +y_c^2\; -c} \)
\( r = \sqrt {(-2)^2\; +0^2\; -0} \)
r = 2
O centro de γ é (-2, 0) e o raio mede 2.
Agora vamos fazer o mesmo para λ, o processo é idêntico ao que nós acabamos de fazer, mudam apenas os valores.
Vamos adicionar 2 termos no lado esquerdo da equação
x2 +y2 +6x +0y +0 = 0
A = 6, B = 0 e C = 0
O x do centro é
\( x_c = \Large{ {A} \over {-2} } \)
\( x_c = \Large{ {6} \over {-2} } \)
xc = -3
O y do centro é
\( y_c = \Large{ {B} \over {-2} } \)
\( y_c = \Large{ {0} \over {-2} } \)
yc = 0
O raio é
\( r = \sqrt {(-3)^2\; +0^2\; -0} \)
r = 3
O centro de λ é (-3, 0) e o raio mede 3.
A distância entre os centros de γ e λ é
\( d_{γλ} = \sqrt{(-2 -(-3))^2 +(0 -0)^2} \)
dγλ = 1
O raio de λ - raio de γ é: 3 -2 = 1
Então temos que a distância entre os centros é igual a diferença entre os raios, portanto γ e λ são tangentes internas.
2º exemplo.
Determine o(s) ponto(s), se houver, onde γ: x2 +y2 +4x = 0 e λ: x2 +y2 +6x +5 = 0 se tocam (γ é a mesma circunferência do exemplo anterior)
Opa, temos um problema, não há nenhum número que elevado ao quadrado seja negativo, portanto, podemos concluir que o sistema não tem solução, ele é impossível.
Assim sendo γ e λ não se tocam, não têm nenhum ponto em comum.
Mas elas são internas ou externas ?
Nós já determinamos o centro e o raio de γ, (-2, 0) e 2, respectivamente.
Só falta descobrirmos o centro e o raio de λ.
Vamos adicionar 1 termo no lado esquerdo da equação
