(Uerj 1999)
Um icosaedro regular tem 20 faces e 12 vértices, a partir dos quais retiram-se 12 pirâmides congruentes. As medidas das arestas dessas pirâmides são iguais a 1/3 da aresta do icosaedro. O que resta é um tipo de poliedro usado na fabricação de bolas. Observe as figuras. .
Para confeccionar uma bola de futebol, um artesão usa esse novo poliedro, no qual cada gomo é uma face. Ao costurar dois gomos para unir duas faces do poliedro, ele gasta 7 cm de linha.
Depois de pronta a bola, o artesão gastou, no mínimo, um comprimento de linha igual a:
1º nosso icosaedro
A questão diz que retira-se uma pirâmide de cada um dos vértices (vamos tirar de apenas um)
O sólido removido é uma pirâmide de base pentagonal.
Note que, ao removermos a pirâmide, criamos uma nova face pentagonal no icosaedro
Como nós repetiremos este processo em cada um dos 12 vértices, nós criaremos 12 novas faces pentagonais.
Vamos remover mais 2 vértices
Note que, o que é antes era uma face triangular, passou a ser uma face hexagonal
Então, se antes nós tínhamos 20 faces triangulares, passaremos a ter 20 faces hexagonais.
Resumindo: o poliedro obtido tem 12 faces pentagonais e 20 hexagonais.
Este sólido tem um nome, ele é conhecido como icosaedro truncado.
O artesão usa 7 cm de linha para costurar dois gomos, para unir duas faces, ou seja, são 7 cm em cada uma das arestas, mas quantas arestas ele tem ?
Ora, nada mais simples, a quantidade de arestas em um poliedro é: a = (quantidade de faces com x arestas.x +quantidade de faces com y arestas.y +quantidade de faces com z arestas.z …)/2
São 12 faces pentagonais, cada pentágono tem 5 arestas, portanto ⇒ 12*5
E 20 faces hexagonais, cada uma com 6 arestas, portanto ⇒ 20*6.
Logo a quantidade de arestas é \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ { \large{ {12.5\;+20.6} \over {2} } } = 90 } \)
O poliedro tem 90 arestas, gasta 7 cm em cada uma delas, portanto, o total de linha gasta é 90*7 = 630 cm ou 6,3 m
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