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(Espcex) Considerando logm 10 = 1,4 e logm 50 = 2,4, é possível afirmar, com base nesses dados, que o valor do logaritmo decimal de 5 é:












Considere que log 5 = x

Para descobrir x, log 5 tem que aparecer em algum lugar, mas como ?





Pela propriedade da mudança de base, loga b em uma nova base c é \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ log_{a}\;b = \Large{ { log_{c}\;b } \over { log_{ c }\;a } } }\)

Então logm 50 na base 10 é


\( log_m\;50 = \Large{ {log\; 50} \over {log\; m} } \)




\( log_m\;50 = \Large{ {log\; 5.10} \over {log\; m} } \), pela propriedade do logaritmo do produto loga (bc) = loga b +loga c




\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ log_m\;50 = \Large{ {log\; 5\; +log\; 10} \over {log\; m} } } \)   (eq1)









log 5 apareceu. Mas qual o valor de log m ? Qual o valor de m ?

Vamos descobrí-los.


Vamos reescrever logm 10


\( log_m\;10 = log_m\;{\Large{ {50} \over {5} } } \), pela propriedade do logaritmo da divisão \( log_{ \large{a} }\;{ \Large{ {b} \over {c} } } = log_{ \large{a} }\;b\; -log_{ \large{a} }\;c\)




\( log_m\;10 = log_m\; 50\; -log_m\; 5 \), segundo a questão logm 10 = 1,4 e logm 50 = 2,4




\( 1,4 = 2,4\; -log_m\; 5 \)




\( log_m\;5 = 1 \), pela definição de logaritmo loga b = x ⬄ ax = b




\( m^1 = 5 \)




\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ m = 5 } \)







Substituindo "m" em eq1


\(log_m\;50 = \Large{ {log\; 5\; +log\; 10} \over {log\; 5} } \)




\(2,4 = \Large{ {log\; 5\; +1} \over {log\; 5} } \)




\( 2,4log\; 5 = log\; 5 +1 \)




\( 1,4log\; 5 = 1 \)




\( log\; 5 = \Large{ {1} \over {1,4} } \)




\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ log\; 5 = \Large{ {5} \over {7} } } \)





Gabarito letra c.


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