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(Fuvest 2015) Use as propriedades do logaritmo para simplificar a expressão
$$ S = {\large{ {1} \over {2log_2\;2016} } }\; +{\large{ {1} \over {5log_3\;2016} } }\; +{\large{ {1} \over {10log_7\;2016} } }\; $$
O valor S é






Vamos reescrever os termos da expressão um por um.


Comecemos com o primeiro \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ {\Large{ {1} \over {2log_2\;2016} } } = {\Large{ {1} \over {2} } }. \Large{ {1} \over {log_2\;2016} } }\)    (eq1)









Pela propriedade da mudança de base, loga b em uma nova base c é \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ log_a\;b = \Large{ { log_c\;b } \over { log_c\;a } } }\)



Assim sendo, log2 2016 na base 2016 é

\( log_2\;2016 = \Large{ {log_{2016}\;2016} \over {log_{2016}\;2} } \)




\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ log_2\;2016 = \Large{ {1} \over {log_{2016}\;2} } }\)










Substituindo o valor encontrado em (eq1)

\( {\Large{ {1} \over {2log_2\;2016} } } = {\Large{ {1} \over {2} } }. \Large{ {1} \over { \LARGE{ {1} \over {log_{2016}\;2} } } }\)




\( {\Large{ {1} \over {2log_2\;2016} } } = {\Large{ {1} \over {2} } }log_{2016}\;2\), pela propriedade do logaritmo da potência loga bn = nloga b




\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ {\Large{ {1} \over {2log_2\;2016} } } = log_{2016}\; \sqrt 2}\)










Agora vamos reescrever o segundo termo

\( {\Large{ {1} \over {5log_3\;2016} } } = {\Large{ {1} \over {5} } }. \Large{ {1} \over {log_3\;2016} } \), vamos alterar a base de log3 2016 para 2016




\( {\Large{ {1} \over {5log_3\;2016} } } = {\Large{ {1} \over {5} } }. log_{2016}\;3 \)




\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ {\Large{ {1} \over {5log_3\;2016} } } = log_{2016}\; \sqrt[\Large{5}] 3}\)









Agora o último termo

\( {\Large{ {1} \over {10log_7\;2016} } } = {\Large{ {1} \over {10} } }. \Large{ {1} \over {log_7\;2016} } \), vamos alterar a base de log7 2016 para 2016




\( {\Large{ {1} \over {10log_7\;2016} } } = {\Large{ {1} \over {10} } }. log_{2016}\;7 \)




\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ {\Large{ {1} \over {10log_7\;2016} } } = log_{2016}\; \sqrt[\Large{10}] 7}\)









Agora nós podemos calcular S

\( S = log_{2016}\; \sqrt 2\; +log_{2016}\; \sqrt[\Large{5}] 3\; +log_{2016}\; \sqrt[\Large{10}] 7 \), pela propriedade do logaritmo do produto loga (bc) = loga b +loga c




\( S = log_{2016}\; (\sqrt 2.\sqrt[\Large{5}] 3.\sqrt[\Large{10}] 7) \)




\( S = log_{2016}\; (2^{\Large{ {1} \over {2} } }.3^{\Large{ {1} \over {5} } }.7^{\Large{ {1} \over {10} } }) \)




\( S = log_{2016}\; (2^{\Large{ {5} \over {10} } }.3^{\Large{ {2} \over {10} } }.7^{\Large{ {1} \over {10} } }) \)




\( S = log_{2016}\; (\sqrt[\Large{10}]{2^5.3^2.7}) \)




\( S = log_{2016}\; (\sqrt[\Large{10}]{2016}) \)




\( S = log_{2016}\; (2016^{\Large{ {1} \over {10} } }) \), pela propriedade do logaritmo da potência loga bn = nloga b




\( S = {\Large{ {1} \over {10} } }log_{2016}\; 2016 \)




\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ S = \Large{ {1} \over {10} } } \)





Gabarito letra e.


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