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(Ufac) Os números reais positivos a e b, ambos diferentes de 1, soluções do sistema de equações
$$ \begin{cases} a^b = \Large{ {1} \over {16} } \\ \\ log_{\Large{ {1} \over {2} } }\;a = b \end{cases} $$

Quando multiplicados, têm como produto o número






Este é o nosso sistema

\( \begin{cases} a^b = {\Large{ {1} \over {16} } }\; (eq1) \\ \\ log_{\Large{ {1} \over {2} } }\; a = b\; (eq2) \end{cases} \)






Vamos isolar e trabalhar com eq2

\( log_{\Large{ {1} \over {2} } }\; a = b \), pela definição de logaritmo loga b = x ⬄ ax = b




\( {\Large{ ({ {1} \over {2} }) } }^b = a \)




\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ a = 2^{-b} } \)







Substituindo “a” em eq1


\( (2^{-\large{b} })^{\large{b} } = \Large{ {1} \over {16} } \)




\( 2^{-\large{ b^2 } } = \Large{ {1} \over {16} } \)




\( 2^{-\large{ b^2 } } = 2^{-4} \), bases iguais nós podemos eliminá-las




\( -b^2 = -4 \)




\( b^2 = 4 \)




\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ b = \pm2 } \)









Segundo a questão, “a” e b são números reais positivos, logo b = +2




Substituindo b em eq1


\( a^2 = \Large{ {1} \over {16} } \), tirar a raiz quadrada dos dois lados da equação




\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ a = \Large{ {1} \over {4} } } \)








Finalmente, o produto a. b é


\( a.b = {\Large{ {1} \over {4} } }.2 \)




\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ a.b = \Large{ {1} \over {2} } } \)





Gabarito letra c.


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