(Uff 2008) Sempre que se ouve alguma referência a embates - reais ou imaginários - entre ciência e religião, o nome de Galileu (1564-1642) é invariavelmente invocado. No entanto, J. A. Connor apresenta em seu texto “A Bruxa de Kepler” um pensador que, segundo o autor, teria sido realmente fiel a seus princípios intelectuais, morais e religiosos, muito mais que Galileu: Johannes Kepler (1571-1630). Vivendo em uma parte da Europa dilacerada pelas guerras de religião, sofrendo perseguições por causa da sua fé luterana, Kepler ainda assim revolucionou a compreensão que temos do mundo.

Um dos grandes legados de Kepler para a ciência foi a sua terceira lei: “o quadrado do período de revolução de cada planeta é proporcional ao cubo do raio médio da respectiva órbita”. Isto é, sendo T operíodo de revolução do planeta e r a medida do raio médio de sua órbita, esta lei nos permite escrever que: T² = K.r³, em que a constante de proporcionalidade K é positiva. Considerando x = log T e y = log r, pode-se afirmar que:






Olhando as alternativas, todas possuem uma equação com y do lado esquerdo, sendo igualado à alguma outra coisa, por exemplo, \( y = \Large{ {2x} \over {3k} } \), nós só precisamos descobrir o y.



A questão diz que y = log r, mas não há nenhuma opção para marcar onde y = log(r).

log(r) precisa aparecer em algum lugar.


x = log T, aqui não aparecerá nenhum r e consequentemente será muito difícil aparecer um log r, então tentar descobrir o seu valor por aqui não me parece ser uma boa ideia.





A questão também nós deu T² = K.r^{3  [1]}, pela definição de logaritmo log_a b = x ⬄ a^x = b







Apareceu um log com base r, não é bem o que queremos, vamos mudar a base para 10 e ver o que conseguimos.^[2]

Pela propriedade da mudança de base, log_a b em uma nova base c é \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ log_{a}\;b = \Large{ { log_{c}\;b } \over { log_{ c }\;a } } }\)



Então \( log_{\large{r} }\;{ \Large{ ({ {T^2} \over {k} }) } } \) na base 10 é \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ log_{\large{r} }\;{ \Large{ ({ {T^2} \over {k} }) } } = {\Large{ { log\;\LARGE{ {T^2} \over {k} } } \over {log\;r} } } }\)








log r apareceu, talvez este seja o caminho para a resposta.


Pela propriedade do logaritmo da divisão \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ log_{ \large{a} }\;{ \Large{ {b} \over {c} } } = log_{ \large{a} }\;b\; -log_{ \large{a} }\;c }\)



Assim sendo







Substituindo em eq1




Gabarito letra e.




[1]: isolando o k também funciona

[2]: Por que mudei para a base 10 e não para uma outra qualquer ? Porque eu preciso encontrar o valor de log(r), a base é 10, mudar a base para uma diferente de 10 certamente iria me atrapalhar mais do que me ajudar.


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