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(Ufjf 2017) Sejam a, b, c e d números reais positivos, tais que logb a = 5, logb c = 2 e logb d = 3. O valor da expressão \( log_c\;\Large{ {a^2b^5} \over {d^3} } \) é igual a:






Primeiro vamos mudar a base de todos os logaritmos.

Pela propriedade da mudança de base, loga b em uma nova base c é \( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ log_{a}\;b = \Large{ { log_{c}\;b } \over { log_{ c }\;a } } }\)



Assim sendo, logb c na base c é

\(log_b\;c = \Large{ { log_c\;c } \over { log_c\;b } }\)




\(2 = \Large{ { 1 } \over { log_c\;b } }\)




\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ log_c\;b = 0,5 }\)









Agora temos que logb a na base c é

\( log_b\;a = \Large{ { log_c\;a } \over { log_c\;b } }\)




\( 5 = \Large{ { log_c\;a } \over { 0,5 } } \)




\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ log_c\;a = 2,5} \)









E por fim logb d na base c é

\( log_b\;d = \Large{ { log_c\;d } \over { log_c\;b } }\)




\( 3 = \Large{ { log_c\;d } \over {0,5 } }\)




\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{ log_c\;d = 1,5}\)









Agora, vamos reescrever a expressão dada na questão

\( log_c\; \Large{ {a^2b^5} \over {d^3} } \), pela propriedade do logaritmo da divisão \(log_{ \large{a} }\;{ \Large{ {b} \over {c} } } = log_{ \large{a} }\;b\; -log_{ \large{a} }\;c\)




\( log_c\; a^2b^5 \;-log_c\;d^3\), pela propriedade do logaritmo do produto loga (bc) = loga b +loga c




\( log_c\; a^2\; +log_c\;b^5 \;-log_c\;d^3\), pela propriedade do logaritmo da potência loga bn = nloga b




\( 2log_c\; a\; +5log_c\;b \;-3log_c\;d\)




\( 2.2,5\; +5.0,5 \;-3.1,5\)




\( \bbox[5px, border: 2px solid blue]{3 } \)





Gabarito letra c.


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