Pirâmides e cones

As pirâmides podem ser retas



ou oblíquas



Quando são retas, o vértice está alinhado verticalmente com o centro da base, se for oblíqua isto não ocorre.

Podem podem ser classificadas também de acordo com sua base.
As pirâmides mais comuns são

Pirâmide regular

Os cones podem ser oblíquos




ou retos


note que para cones retos g² = h² +r²



E novamente, se o cone é reto, o vértice está alinhado verticalmente com o centro da base, se for oblíquo isto não ocorre.

Os cones retos também são chamados de cones de revolução porque podem ser obtidos ao girarmos um triângulo em torno de um eixo



A geratriz de um cone reto é conhecida também como apótema do cone.

A interseção do cone com um plano que contém o seu eixo (segmento de reta do vértice ao centro da base) é chamada de secção meridiana




Se a secção meridiana for um triângulo equilátero diz-se que o cone é equilátero

Considere um cone de raio “r” e geratriz “g”



a área da superfície lateral é: A_l = πrg


Agora imagine o cone planificado


α: ângulo central
g: geratriz do cone
r: raio do setor circular, r = g


A área lateral do cone é igual a área do setor circular, que é dada pela fórmula: \(A = \Large{ {\pi.r^2.\alpha} \over {360} }\)


A área total é área lateral +a área da base A_t = A_l +A_B
Lembre-se, a base é um circo e portanto sua área é πr².


E por fim seu volume é o produto da área da base pela altura dividido por 3 \(\large{v} = \Large{ {A_b.h} \over {3} }\)

Imagine que nós seccionamos uma pirâmide com altura “h”, com um plano paralelo à base, a uma distância x do vértice



ao fazermos isso, nós criamos 2 sólidos, 1 tronco de pirâmide e uma pirâmide menorzinha de altura x



A pirâmide pequena é semelhante a pirâmide grande pois foi gerada a partir da pirâmide grande



E se são semelhantes suas medidas correspondentes são proporcionais, ou seja, considere que se nós dividirmos h por x obtemos um valor k, \( \large{ {h} \over {x} } = k \).

Se nós dividirmos a aresta “a” da pirâmide grande pela aresta a’ da pequena também obteremos k, \( \large{ {a} \over {a'} } = k \)



Se nós dividirmos a aresta lateral “b” da pirâmide grande pela aresta b’ da pequena obteremos k mais uma vez, \( \large{ {b} \over {b'} } = k \)



e assim por diante. Se nós dividirmos qualquer medida da pirâmide grande (altura, arestas, apótema etc.) pela medida correspondente da pequena, o resultado sempre será k.

Observação: nós também poderíamos dividir as medidas da pirâmide pequena pelas medidas correspondentes da pirâmide grande obtendo um outro valor k’, exemplos, \( \large{ {x} \over {h} } = k' \), \( \large{ {a'} \over {a} } = k' \), \( \large{ {b'} \over {b} } = k' \) ...




As áreas das pirâmides também são proporcionais. Se A_b é a área da base da pirâmide grande e A’_b é a área da base da pequena, então, \( \large{ {A_b} \over {A'_b} } = k^2 \), se A_l é a área lateral da pirâmide grande e A’_l é a área lateral da pequena, então \( \large{ {A_l} \over {A'_l} } = k^2 \), e assim por diante.

Novamente, nós também poderíamos dividir as áreas da pequena, pelas áreas correspondentes da grande e o valor seria constante, exemplos, \( \large{ {A'_b} \over {A_b} } = k'^2 \), \( \large{ {A'_l} \over {A_l} } = k'^2 \)


Os volumes das pirâmides também respeitam uma proporcionalidade. Se v é o volume da pirâmide grande e v’ é o volume da pirâmide pequena então \( \large{ {v} \over {v'} } = k^3 \) ou \( \large{ {v'} \over {v} } = k'^3 \)


Os cones seguem a mesma lógica das pirâmides.
Se nós seccionarmos um cone com um plano paralelo à base



obteremos um tronco de cone e um cone pequenininho



A razão entre h e x é k, \( \large{ {h} \over {x} } = k \) e a razão entre x e h é k’, \( \large{ {x} \over {h} } = k' \).

A razão entre o raio da base do cone grande, r, e o raio da base do pequeno, r’, é k, \( \large{ {r} \over {r'} } = k \)



bem como a razão entre r’ e r é k’, \( \large{ {r'} \over {r} } = k' \), acho que você já entendeu.



A razão entre uma área do cone grande e a área correspondente do pequeno, será um valor constante k², exemplos, a razão entre a área lateral do cone grande, A_l, e a área lateral do pequeno, A’_l, é \( \large{ {A_l} \over {A'_l} } = k^2 \), ou \( \large{ {A'_l} \over {A_l} } = k'^2 \), a razão entre a área total do grande, A_t, e a área total do pequeno, A’_t, é \( \large{ {A_t} \over {A'_t} } = k^2 \) ou \( \large{ {A'_t} \over {A_t} } = k'^2 \) ...



E a razão entre os volumes é k³
Se v é o volume do cone grande e v’ o volume do pequeno, então \( \large{ {v} \over {v'} } = k^3 \) ou \( \large{ {v'} \over {v} } = k'^3 \)

Resumindo
As proporções acima servem para qualquer sólido, não apenas cones e pirâmides.