SISTEMAS LINEARES

x -100 = -y
-100 = -x -y

x +y = 10
x +y = 100

Não possui nenhuma solução

Exemplo
Não há nenhum par de valores para x e y que satisfaça as duas equações simultaneamente.

Possui uma única solução

Exemplo
Este sistema possui uma única solução, (6, 4)
Quando x = 6 e y = 4, as duas equações são satisfeitas simultaneamente.

Possui infinitas soluções.

Exemplo
Este sistema possui infinitas soluções, exemplos, (5, 5), (10, 0), (0, 10) etc

Classifique e encontre as soluções do sistema

Vamos multiplicar eq1 por -2 e somá-la com eq2, então


Agora vamos subtrair eq1 -eq3, então


O nosso sistema agora é (repetir a eq1 original, e substituir eq2 e eq3)


Vamos multiplicar eqr2 por 3 e somar com eqr1


Descobrimos o valor de z, agora nós podemos substituí-lo em eqr1 ou eqr2 para encontramos y.

Substituindo em eqr1 temos

Com y e z, nós podemos substituí-los em eq1 e descobrir x


Note que ao multiplicar as equações por um número e ao somar ou subtrair uma equação com a outra, uma incógnita sempre era eliminada, até descobrirmos o valor da 1ª incógnita, esta era a ideia.

Solução do sistema (-3, 14/3, 13/3).
Como o sistema tem uma única solução ele é possível e determinado.

Mas com eu sei, que há apenas uma solução ?
Porque os sistemas impossíveis e os possíveis indeterminados possuem um resultado bem característico.



Vamos classificar e encontrar as soluções do sistema

Vamos multiplicar eq1 por -2 e somá-la com eq2


Agora vamos multiplicar eq1 por -5 e somá-la com eq3


O nosso sistema ficou assim

Ora, como pode 3y +5z = 4 e 3y +5z = 2 ?
Não dá, por isso nós concluímos que este sistema é impossível.

Mas eu ainda quero finalizar as contas, então vamos efetuar a subtração eqr1 -eqr2


Resultados como este (0 = 2, 10 = 4 etc) são conhecidos como uma inverdade e são característicos de sistemas impossíveis.


Por fim, vamos classificar o sistema


Multiplicar eq1 por -3 e somar com eq2


Multiplicar eq1 por -2 e somar com eq3


Temos agora


Subtrair eqr1 -eqr2


Para qualquer par de valores para y e z, 0y +0z sempre será 0.
Resultados como este (0 = 0, 20 = 20, -7 = -7 etc) são característicos de sistemas possíveis e indeterminados.

Nós podemos selecionar quaisquer valores para y e z tal que y -2z = 5 e podemos determinar x para que x +3y -z = 7, exemplos, (2, 1, -2) ou (-8, 5, 0), substituindo x, y e z, respectivamente, em eq1, eq2 e eq3, todas elas serão satisfeitas.


Você também pode se deparar com alguns sistemas incompletos, exemplo

Se você quiser, pode completá-lo.

Na eq1 está faltando o y, você pode adicioná-lo sem problemas, x +0y +z = 3 (o 0y não altera a equação, pois é um termo nulo).

Na eq2 está faltando o x, podemos reescrevê-la 0x +y +z = 4.

E por aí vai.

Os exemplos acima, possuem apenas 3 incógnitas e 3 equações, contudo, o escalonamento pode ser aplicado a sistemas com mais de 3 equações e equações com mais de 3 incógnitas.

Considere um sistema com m equações e n incógnitas, se m ≥ n será possível resolvê-lo, se n > m, não é possível resolvê-lo.

impossível -> se o determinante da matriz dos coeficientes for 0 e o determinante da matriz de ao menos uma das incógnitas for diferente de 0.

possível indeterminado -> se o determinante da matriz dos coeficientes for 0 e os determinantes das matrizes de todas as incógnitas forem iguais à 0.

possível e determinado -> se o determinante da matriz dos coeficientes for diferente de 0

O sistema
é S.I, S.P.D ou S.P.I ?


1º vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes

A matriz dos coeficientes, é a matriz formada pelos coeficientes das incógnitas



O determinante da matriz é 0.

Ok, agora vamos calcular o determinante das matrizes de x e y.

A matriz de x, é a matriz dos coeficientes, substituindo a coluna do x pelos termos independentes.
É muito simples, a coluna da incógnita x é a 1ª “coluna” das equações




Logo, a 1ª coluna da matriz dos coeficientes, é a coluna do x




Nós só precisamos substituí-la pelos termos independentes


O determinante desta matriz (que é o determinante de x, D_x) é -90.
O determinante de ao menos uma das incógnitas é diferente de 0, portanto ela é impossível.


E este sistema ?

1º vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes
Matriz dos coeficientes


Determinante 0.
O sistema pode ser S.P.I ou S.I.

Vamos calcular os determinantes das matrizes de x e y.
Vamos começar com a matriz de x.

A coluna da incógnita x é a 1ª “coluna” das equações




Vamos substituir a 1ª coluna da matriz dos coeficientes pelos termos independentes




Determinante da matriz (determinante de x, D_x) 0.
Ainda não dá para saber se ela é S.P.I ou S.I.

Vamos calcular o determinante da matriz de y.
A coluna da incógnita y é a 2ª “coluna” das equações



Vamos substituir a 2ª coluna da matriz dos coeficientes pelos termos independentes.




Determinante da matriz (determinante de y, D_y) 0.
Os determinantes das matrizes de todas as incógnitas foram iguais à 0, portanto o sistema é possível indeterminado (S.P.I).


Vamos para o último exemplo.
Ele é S.P.D, S.P.I ou S.I ?


Vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes
Matriz dos coeficientes


Determinante da matriz -2.
Diferente de 0, portanto o sistema é possível e determinado (S.P.D).

Se todos os termos independentes forem nulos
o sistema é homogêneo.

Todo sistema linear homogêneo admite a ênupla (0, 0, 0, ..., 0) como solução, conhecida como solução nula, trivial ou imprópria. Qualquer solução diferente de (0, 0, … 0) para um sistema homogêneo é chamada de não nula, não trivial ou própria.